ساختار فراکتال

ساختار فراکتالی بازار های مالی

این واژه Fractal از کلمه لاتین Fractus (یعنی تکه تکه و بخش بخش) گرفته شده یکی از مهمترین خصوصیات فراکتالها خود متشابه بودن (self similarity)آنهاست به این معنی که فراکتالها از اجزایی تشکیل شده اند که هر جزء در آن شبیه به کل شکل میباشد و به عبارتی اشکال پیچیده از طریق تکرار اشکال ساده بدست می ایند.

تشکیل از راه تکرار (Iterative formation)

مقصود از تشکیل از راه تکرار چیست؟ یعنی برای درست کردن یک فراکتال می‌توانیم یک شکل معمولی هندسی ( مثلاً یک خط ) را انتخاب کنیم و با آن یک شکل بسازیم. سپس با شکل به دست آمده، شکل پیچیده تری مانند شکل های قبلی بسازیم، و همین طور به این کار ادامه دهیم.

اگر شکل قرمز را شکل پایه در نظر بگیریم ، در شکل آبی چند نمونه از آن وجود دارد؟

اشکال فراکتالی به این طریق به وجود می‌آیند و برنامه های کامپیوتری متعددی برای ایجاد آن ها نوشته شده است که هر کدام نام و روشی خاص دارند در زیر به چند نمونه از آن اشاره می کنیم:

– مثلث سیرپینسکی :

به این مثلث خاص در شکل زیر نگاه کنید. این مثلث بزرگ (فراچارت: که با نام لاتین ierpinskitriangle معروف است)،از مثلث های مشابه کوچک تر تشکیل شده است که همین طور کوچک تر و کوچک تر هم می‌شوند. چند سایز مثلث وجود دارد و آیا همه باهم و با مثلث بزرگ تشابه دارند؟ در واقع مثلث بزرگ از چیدمان چندین مثلث دیگر بوجود آمده اند که هر کدام از آنها نیز به نوبه خود از مثلثهای کوچتکر و هر کدام از آن مثلث های کوچکتر نیز از مثلثهای کوچکتر از خود و … بوجود آمده است.

– دانه برف کخ :

این دانه برف تنها از یک مثلث و بصورت زیر ساخته می شود. (فراچارت: این نام از نام آن ریاضیدان، نیلز فابین هلگ وان‌ کُخ Niels Fabian Helge Von Koch گرفته شده است. )

برای ملموس تر شدن موضوع اجازه دهید کمی از این هندسه زیبا را در اطرافمان بیابیم: ساختارهای فراکتالی در بسیاری از ساختارهای طبیعی مثل ساختمان دانه های برف، شکل کوه ها، ابرها و شکل ریشه، تنه و برگ درختان، رویش بلورها در سنگهای آذرین، شبکه آبراه ها و رودخانه ها، رسوبگذاری الکتروشیمیایی، رویش توده باکتریها و سیستم عروق خونی وغیره دیده میشوند و با آنها میتوان پدیده های طبیعی بسیاری را تشریح، تفسیر و پیش بینی کرد

– فراکتال طبیعی گیاه آلوئه پلی فیلا

شکل زیر از دوران یک تک برگ حول محور مرکز (به گونه ائی که شعاع دوران دائمآ در حال کاهش است) بوجود آمده است.لذا میتوان بجای مطالعه کل شکل, تنها به مطالعه همان تک برگ پرداخت زیرا کل شکل فوق چیزی به جز قرار گیری هدفمند تعداد زیادی از این تک برگها در کنار یکدیگر نیست.

– کلم بروکلی رومانسکو

کلم بروکلی رومانسکو، یکی از کلم های عجیب در جهان به حساب می آید، چرا که ساختار فراکتال ترتیب قرارگیری و شکل هندسی برگ ها و دانه های آن از معادلات و اشکال هندسی کاملا متقارن و هندسی تبعیت می کند.

– دانه برف طبیعی:

در عکس میکروسکوپی زیر می بینید که دانه های ساختار فراکتال برف با چه زیبایی وصف ناپذیری بصورت فرکتالی ساخته شده اند

موارد کاربرد فراکتالها آنچنان زیاد است که حتی نمیتوان لیستی از آن ارائه داد. چند مورد از کاربرد های روزمره با فراکتال ها: مثلآ در کامپیوتر (برای فشرده کردن تصاویر یا پردازش تصاویر)، فیزیک (آنتن های گوشی موبایل)، پزشکی (برای تفسیر نوار قلبی و پیش بینی رفتار بدن)، معماری و شهرسازی، اقتصاد، شیمی، پیش بینی وضع هوا، زمین شناسی و حرکت گسل ها و بسیاری از مواد دیگر؛ همچنین میتوان رد پای فراکتال ها را در خلق آثار هنری جست و با استفاده از آنها ایده های بدیع و زیبایی خلق نمود.

ارتباط فراکتال با بازار های مالی

در بازار های مالی نیز مانند سایر بخشهای کتاب خلقت، سیستم فراکتالی نیز صادق است.

اگر تایم فریم ساختار فراکتال را مانند یک طیف در نظر بگیریم، و جهت حرکت از سمت چپ به راست باشد، در سمت چپ و در نقطه آغاز این طیف، تیک چارت را بعنوان کوچکترین آجر و سنگ بنای تایم فریم های دیگر خواهیم داشت. در واقع تیک چارت حکم اتم (به معنای غیر قابل تجزیه به عوامل کوچکتر) را دارد.

در هر زمانی که قیمت جدیدی برای یک جفت ارز (Ask) اعلام شود، تیک چارت تغییر خواهد کرد. در مرحله بعدی تایم فریم یک دقیقه را داریم که اطلاعات تیک چارت را به مدت یک دقیقه خلاصه کرده و در یک کندل حاوی: قیمت شروع یک دقیقه مورد بررسی (open)، قیمت در پایان یک دقیقه مورد بررسی (close)، قیمت حد اکثر در یک دقیقه مورد بررسی (high) ، و قیمت حداقل در یک دقیقه مورد بررسی (low) قرار می گیرد.

تایم فریم بعدی در طیف می تواند تایم فریم 5 دقیقه باشد که اطلاعات 5 کندل یک دقیقه ائی را در خود جا داده و در یک کندل نمایش می دهد: قیمت شروع پنج دقیقه مورد بررسی (open)، قیمت در پایان پنج دقیقه مورد بررسی (close)، قیمت حداکثر در پنج دقیقه مورد بررسی (high) ، و قیمت حداقل در شیش دقیقه مورد بررسی (low)

همینطور که از سمت چپ این طیف به سمت راست طیف حرکت می کنیم تایم فریم بزرگتر و بزرگتر می شود اما جزء غیر قابل تجزیه در تمام آنها (مانند تمام ساختارهای فراکتالی) ساختار فراکتال فقط یک چیز است که در این مورد (تایم فریمها) همان تیک چارت می باشد.

معماری فرکتال

اولین بار فرکتال را دکتر مندلبرت ، طی نظریه ای که برای حل مسائل جهان هستی ارائه داد مطرح کرد و در این نظریه عنوان کرد که جهان هستی بعدی دارد و تمامی پدیده های طبیعی در جهان هستی، به نوعی فرکتال هایی می باشند که برای ما ناشناخته اند. اشکال فرکتال در معماری با زندگی روزمره ما گره خورده اند و با کمی دقت به اطراف خود، میتوان بسـیاری از این اشکال را یافت . از گل فرش و گل کلم درون مغازه های میوه فروشـی گرفتـه تـا شـکل کـوههـا، ابرهـا، دانـه بـرف ساختار فراکتال و بـاران ، شـکل ریشـه ، تنـه و بـرگ درختان و بالاخره شکل سرخسهـا، سـیاهرگ و حتـی می توان از این هم فراتر رفت : سطح کـره مـاه ، منظومـه شمسی و ستارگان .

واژه فراکتال مشتق از واژه لاتین ” فراکتوس “، به معنی سنگی است که به شکل نامنظم خرد شده باشد. فراکتال ها شکل هایی هستند که بر خلاف شکل های هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند و میزان بی نظمی آنها در همه مقیاسها یکسان است .

زمانی که منـدلبرات بـرروی پژوهشی پیرامون طول سواحل انگلیس مطالعه مـی نمـود بـه ایـن نتیجه رسید که هر گاه با مقیاس بزرگ این طول انـدازه گرفته شود بیشتراز زمـانی اسـت کـه مقیـاس کـوچکتر باشد. فرهنگسـتان زبـان هـم واژه برخـال را برای معادل این واژه تصـویب کـرده و همچنـین بـرای واژه فرکتـالی واژه برخـالی را درنظر گرفته است .

فرکتال از دیدگاه هندسی

اشکال اقلیدسی با استفاده از توابع ایستا تولید ساختار فراکتال می شوند ولی اشکال فرکتال با فرآیندهای پویا تولید می گردند. فرآیندهای پویا ، فرآیندهایی هستند که دارای حافظه می باشند و رفتار آنها به گذشته بستگی دارد. شکل فرکتال ، دارای خاصیت خود همانندی می باشد .طول این اشیا، بی نهایت است که در فضای محدود ,محصور شده اند. مجموعه های فرکتالی، از زیر مجموعه هایی تشکیل شده اند که این زیر مجموعه ها، شبیه مجموعه های بزرگتر هستند. مجموعه های فرکتال قابلیت توصیف ریاضی بسیاری از اشکال پیچیده و به ظاهر نامنظم در طبیعت را دارند و به همین جهت ، می توان فرکتال در معماری را بیان هندسی ریاضی از طبیعت در معماری دانست .

هر فرآیند تکراری و پویا باعث ایجاد ساختارهای پیچیده فرکتال نمی شود. مکانیزم تولید چنین ساختارهای پویایی و آشوب است . درحقیقت فرکتال تصویری ریاضی از آشوب است ( محمدی، مرتضی ، ١٣٩٣ )

وقتی که به یک جسم فراکتال نزدیک می شویم ، می بینیم که تکه های کوچکی از آن که از دور همچون دانه ها بی شکل به نظر می رسید، بصورت جسم مشخص در می آید که شکلش کم و بیش مثل همان شکلی است که از دور دیده می شود .

فرکتال از دید هندسی به شیئی گویند که دارای سـه ویژگی باشد:

١- دارای خاصیت خود مانائی باشد.(خود متشابهی-Self Similarity)

٢- در مقیاس خرد ، بسیار پیچیده باشد.(خرد مقیاسی)

٣- بعد آن ، یک عدد صحیح نباشد. مثل ۵/١ (بعد اعشاری) (نیکوس ا سالینگاروس ، مترجم نسیم چیت سازان و

۴- تکرار شوندگی وتعادل

در طبیعت ، از درختان تا کهکشان ها، اشکال زیادی وجود دارد که جریانی از اشکال خود متشابه را به نمایش می گذارند . در علم ریاضیات ، اصطلاحاتی مثل خود شبیه بودن دارای معانی ویژه ای هستند. اگر کل ساختار با یک مقیاس دچار تغییر شود، خود متشابه می باشد. شکل به وجود آمده ممکن است کوچک تر، بزرگ تر، دوران یافته یا تبدیل شده باشد ؛ اما همچنان شبیه شکل اولیه باقی بماند. خود تشابهی به این معنی است که تناسبات نسبی بین وجوه شکل و زوایای داخلی ثابت باقی بماند. اگر یک شیء به طور نامساوی در یک یا چند بعد تغییر یابد آن گاه تغییر، خودوابسته خواهد بود. در یک تغییر خود وابسته ممکن است زوایای داخلی شکل یا تناسبات نسبی وجوه اشکال عین هم نباشد. طول ، سطح یا حجم یک ساختار فراکتال در روند دگرگونی خودشبیه آن افزایش می یابد. تناسبات طلایی به عنوان مثالی از مقیاس خودشبیه از دیرباز ابزار مناسبی برای معماران بوده است .

تناسب طلایی، فرم یک شکل مارپیچ گونه از مستطیل خودشبیه را خلق می کند.(دشتی شفیعی،آذرباد،١٣٩۵)

خردمقیاسی:

اجسام فرکتالی در تمامی ابعاد ، از دور یا نزدیک ، نا منظم اند و به معنی متعارف ، منظم نیستند و درواقع بیانگر نظم در بی نظمی هستند.

تعادل :

یکی از ساده ترین اشکال ساختار فراکتال تعادل ، تقارن می باشد که در آن یک وجه ترکیب ،عین وجه دیگر است .زمانی تعادل به ریتم می رسد که شیء در امتداد یک خط تکرار شود یا حول یک نقطه دوران یابد. بسیاری از فرم ها در طبیعت مانند بدن و همچنین ریتمهای تکرار شونده مانند انگشتان انسان و حتی ساختارهای ذهنی ما مانند خوبی و بدی ، بالا و پایین و داخل و خارج ، دارای تقارن می باشند (فلاح ، اشرف گنجویی ، ١٣٨۵)

هندسه فراکتال بر خلاف هندسه اقلیدسی، روش بهتری برای توضیح و ایجاد پدیده هایی طبیعی است . زبانی که این هندسه به وسیله آن بیان می شود الگوریتم نام داردکه به وسیله آن ، اشیاء مرکب می توانند به فرمول ها و قوانین ساده تری ترجمه و خلاصه شوند.

بهترین راه برای تعریف یک فراکتال توجه به صفت ها و نشانه های آن است یک فراکتال «نامنظم » است . این بدان معنی است که در آن هیچ قسمتی صاف نیست . فراکتال «خود مشابه » است و این بدین معنی ساختار فراکتال است که اجزاء، شبیه کل هستند.

فراکتال ها به وسیله «تکرار» توسعه می یابند که به این معنی است که تغییر شکل مکررًا ایجاد شده و وابسته به موقعیت شروع است . خصوصیت دیگر آن این است که فراکتال «مرکب » است . اما با این حال می توان آن را به وسیله الگوریتم های ساده نشان داد و همچنین بدین معنی نیز هست که در پس عناصر نامرتب طبیعی یک رشته قوانین منظم موجود است .